\subsection{Regulator til $y$-retning}

For at designe en hastighedsregulator til styring af kranen i $y$-retningen er regulatoren opbygget som vist på figur \ref{fig:blokdiagram_reg_yhast}.

\begin{figure}[H] %Blokdiagram af y hastighedsregulator
\centering
\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm,>=latex']
  % We start by placing the blocks
    \node [input, name=input] {};
    \node [sum, right of=input, node distance=1.7cm] (sum) {};
    \node [block, right of=sum, node distance=2.3cm] (Dtheta-last) {$D_{\dot{X}_{\text{slæde}}}(s)$};
    \node [block, right of=Dtheta-last, node distance=3cm] (Gyprik-last) {$G_{\dot{X}_{\text{slæde}}}(s)$};
    \node [output, right of=Gyprik-last,, node distance=2.3cm] (output) {}; 
 
  % We draw lines	    
    \draw [->] (input) -- node {$R_{\dot{X}_{\text{slæde}}}$} (sum);
    \draw [->] (sum) -- node {$e_{\dot{X}_{\text{slæde}}}$} (Dtheta-last);
    \draw [->] (Dtheta-last) -- node[name=u] {$U_{e,x}$} (Gyprik-last);
    \draw [->] (Gyprik-last) -- node[name=y] {$Y_{\dot{X}_{\text{slæde}}}$}(output);
    \coordinate [below = -15pt, below of=u] (below-u);
    \draw [->] (y) |- (below-u) -| node[pos=0.99] {$-$} (sum);     
\end{tikzpicture}
\caption{Blokdiagram af regulator i $y$-retning.}
\label{fig:blokdiagram_reg_yhast}
\end{figure}

Regulatoren skal sikre kranen kan opfylde kravene opstillet i kravspecifikationen opsummeret i tabel \ref{tab:klassisk_regulatorkrav_y}.

\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline Område & Krav \\
\hline Oversving & < 5 \% \\ 
\hline Steady state fejl & < $\pm$ 5 \% \\
\hline 
\end{tabular} 
\caption{Krav til hastighedsregulering i $y$-retning.}
\label{tab:klassisk_regulatorkrav_y}
\end{table}

På figur \ref{fig:yhastUreguleretRodkurve} er det uregulerede systems rodkurve vist.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/rlocus_yhast_ureg.pdf}
  \caption{Rodkurveplot for det uregulerede system.}
\label{fig:yhastUreguleretRodkurve}
\end{figure}

Der er valgt at tilføje en pol i nul for at fjerne steady state fejlen og et nulpunkt i -0.8 for at have større frihed til at bestemme et gain der overholder kravet om maksimalt 5 \% oversving. Figur \ref{fig:yhastpolplot} viser systemets rodkurver med den tilføjede regulator. 

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/hastRegulatorRodkurve_y.pdf}
  \caption{Rodkurveplot for hastighedsregulator med pol i nul og nulpunkt i -0,8.}
\label{fig:yhastpolplot}
\end{figure}

Ud fra rodkurven er der forsøgt med et gain på 10, da dette giver et oversving på 5 \%, men ved brug af håndtuning er der fundet frem til et gain på 75. Figur \ref{fig:yhaststepplot} viser systemets respons til et step på $0,2 ~\has$.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width = \textwidth]{billeder/klassisk/hastStep_y.pdf}
  \caption{Steprespons henholdsvis med og uden hastighedsregulator, ved et påført step på 0,2 \has. For det regulerede system: 5 \% oversving, 0,36 s stigetid, 2,29 s indsvingningstid.}
\label{fig:yhaststepplot}
\end{figure}
Det ses ud fra figur \ref{fig:yhaststepplot} et der er en stor steady state fejl uden regulator. For det regulerede system er der fundet et oversving på 5 \%, en stigetid på 0,36 s og en indsvingningstid på 2,29 s. Det samlede system med regulator er undersøgt for ustabilitet ved brug af bodeplot. Åbensløjfe bodeplottet for det samlede system i $y$-retningen er vist på figur \ref{fig:y_regulering_bode}.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{billeder/klassisk/bode_yhast_aben.pdf}
\caption{Bodeplot af åbensløjfe for $y$-retningen.}
\label{fig:y_regulering_bode}
\end{figure}

Der kan ses fra figur \ref{fig:y_regulering_bode} at systemet har en fasemargin på 84,9$\degree$. Det ligger over den ønskede fasemargin på minimum 45$\degree$, hvilket gør at systemet er stabilt. Ligning \eqref{eq:yregendelig} beskriver derfor den endelige hastighedsregulator i $y$-retningen.

\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
D_{\dot{Y}_{\text{last}}}(s) = 75 + \frac{60}{s} \label{eq:yregendelig}
\end{IEEEeqnarray}

\subsubsection{Verificering}

For at undersøge om den valgte regulator opfylder kravene, er der foretaget en simulering af denne regulator. Simuleringen er foretaget med Simulink, og der er medtaget mætning, hvilket ikke har været muligt at medtage i dimensioneringen af regulatoren. Stepresponset for $y$-retningen, med og uden mætning, er vist på figur \ref{fig:sim_step_yhast}.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{billeder/klassisk/sim_step_y.pdf}
\caption{Simulering af steprespons for $y$-retning. Der steppes til $0,2 ~\has$.}
\label{fig:sim_step_yhast}
\end{figure}

Stepresponset for systemet uden mætning er ens med det steprespons på figur \ref{fig:yhaststepplot}, mens stepresponset for systemet med mætning har en længere stigetid og mindre oversving, hvilket betyder systemet når i mætning. Stepresponset brugt i figur \ref{fig:sim_step_yhast} er ved et step på $0,2 ~\has$ og idet stepresponset overholder kravet stille i kravspecifikationen i dette tilfælde er det set som godkendt. På figur \ref{fig:sim_maetnin_yhas} er der vist outputtet for regulatoren ved et step på $0,2~ \has$ og der kan tydeligt ses at mætningen bliver ramt.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{billeder/klassisk/sim_maetning_y.pdf}
\caption{Simulering af regulatoroutput y-retning ved step på $0,2~ \has$.}
\label{fig:sim_maetnin_yhas}
\end{figure}